Question

3．已知△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，csinC-asinA=（$\sqrt{3}$c-b）sinB．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=1，求三角形ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，再由余弦定理列出關(guān)系式，將得出的等式變形后代入求出cosA的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）結(jié)合基本不等式可得bc≤2+$\sqrt{3}$，再根據(jù)面積公式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)csinC-asinA=（$\sqrt{3}$c-b）sinB．
得：c²+b²-$\sqrt{3}$bc=a²，
即c²+b²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=30°．
（Ⅱ）由（1）可得c²+b²-1=$\sqrt{3}$bc，
∴2bc-1≤$\sqrt{3}$bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴bc≤$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
∴三角形ABC面積S的最大值$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，基本不等式，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．