【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2﹣a2x+1,g(x)=ax2﹣2x+1,其中實數(shù)a≠0.
(1)若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象只有一個公共點且g(x)存在最小值時,記g(x)的最小值為h(a),求h(a)的值域;
(3)若f(x)與g(x)在區(qū)間(a,a+2)內(nèi)均為增函數(shù),求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵ ,又a>0,

∴當 時,f'(x)>0;

時,f'(x)<0,

∴f(x)在(﹣∞,﹣a)和 內(nèi)是增函數(shù),在 內(nèi)是減函數(shù).


(2)解:由題意知x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1,

即x[x2﹣(a2﹣2)]=0恰有一根(含重根).∴a2﹣2≤0,即- ≤a≤ ,

又a≠0,∴

當a>0時,g(x)才存在最小值,∴

g(x)=a(x﹣ 2+1﹣

h(a)≤1﹣ ;

∴h(a)的值域為


(3)解:當a>0時,f(x)在(﹣∞,﹣a)和 內(nèi)是增函數(shù),g(x)在 內(nèi)是增函數(shù).

由題意得 ,解得a≥1;

當a<0時,f(x)在 和(﹣a,+∞)內(nèi)是增函數(shù),g(x)在 內(nèi)是增函數(shù).

由題意得 ,解得a≤﹣3;

綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)


【解析】(1)先對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間.(2)令f(x)=g(x)整理可得x[x2﹣(a2﹣2)]=0,故a2﹣2≤0求出a的范圍,再根據(jù)g(x)存在最小值必有a>0,最后求出h(a)的值域即可.(3)分別求出函數(shù)f(x)與g(x)的單調(diào)區(qū)間,然后令(a,a+2)為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

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(2)確定a的所有可能取值,使得f(x)> ﹣e1x在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).

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【題目】實數(shù)ab滿足ab>0ab,由a、b、按一定順序構(gòu)成的數(shù)列( 。

A. 可能是等差數(shù)列,也可能是等比數(shù)列

B. 可能是等差數(shù)列,但不可能是等比數(shù)列

C. 不可能是等差數(shù)列,但可能是等比數(shù)列

D. 不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列

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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當a=﹣2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設(shè)a>﹣1,且當 時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍.

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【題目】下列說法中,正確的序號是_________.

的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱;

,則的值為1;

, 則 ;

把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得圖象的一條對稱軸方程為

在鈍角中,,則

.

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【題目】已知函數(shù)fx)=sinxcosx+cos2x-

(Ⅰ)求函數(shù)fx)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;

(Ⅱ)將函數(shù)fx)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)gx)的圖象.若關(guān)于x的方程gx)-k=0,在區(qū)間[0,]上有實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.

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(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值和最小值.

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