Question

13．F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦點，過點F₁的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF₂是等邊三角形，則$\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{a}$的值為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=$\sqrt{7}$a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|BF₂|=|AB|，
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a，
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°，
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，解之得c=$\sqrt{7}$a，
由此可得雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{a}$=$\sqrt{7}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．