Question

11．第31屆夏季奧林匹克運動會將于2016年8月5-21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行，將近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數(shù)y（單位：枚）分為五小組（組數(shù)為x），有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

屆數(shù)	第26屆亞特蘭大	第27屆悉尼	第28屆雅典	第29屆北京	第30屆倫敦
組數(shù)x	第1組	第2組	第3組	第4組	第5組
金牌數(shù)y	16	28	32	51	38

（I）從這五組中任取兩組，求這兩組所獲得的金牌數(shù)之和大于70枚的概率；
（Ⅱ）請根據(jù)這五組數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；并根據(jù)線性回歸方程，預測第31屆（第6組）奧林匹克運動會中國代表團獲得的金牌數(shù)（結果四舍五入，保留整數(shù)）．
（題中參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^5$（x_i-$\overline x$）（y_i-$\overline y$）=67）
附：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$．a(chǎn)=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，列出滿足條件的情況，得出概率結論；
（Ⅱ）計算線性回歸方程的系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，寫出線性回歸方程，利用回歸方程計算x=31時$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（I）由已知可得，從這五組所獲得的金牌數(shù)中任取兩組，共有以下情況：
（16，28）（16，32）（16，51）（16，38）（28，32）
（28，51）（28，38）（32，51）（32，38）（51，38）
其中兩組所獲得的金牌數(shù)之和大于70枚的有3種，
∴這兩組所獲得的金牌數(shù)之和大于70枚的概率$P=\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)可得：$\overline x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，
$\overline y=\frac{16+28+32+51+38}{5}=33$，
∴$\sum_{i=1}^5{（{x_i}}-\overline x{）^2}=10$，又∵$\sum_{i=1}^5{（{x_i}}-\overline x）（{y_i}-\overline y）=67$，
∴$\widehat$=6.7
∴$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=33-6.7×3=12.9$，
∴線性回歸方程為y=6.7x+12.9，
當x=6時，中國代表團獲得的金牌數(shù)y=6.7×6+12.9=53.1≈53（枚），
∴根據(jù)線性回歸方程預測第31屆奧林匹克運動會中國代表團獲得的金牌數(shù)大約為53枚．

點評 本題考查了線性回歸方程的應用問題，也考查了概率問題屬于中檔題．