Question

19．y=sinx+acosx中有一條對稱軸是x=$\frac{5}{3}$π，則g（x）=asinx+cosx最大值為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 方法一：利用三角恒等變換化簡y，利用正弦函數(shù)在對稱軸時取得最值，即可求出a的值以及y的最大值；
方法二：根據(jù)三角函數(shù)在對稱軸時的函數(shù)值是最值，對應的導函數(shù)值為0，利用導數(shù)求出a的值以及y的最大值．

解答 解法一：因為y=sinx+acosx中有一條對稱軸是x=$\frac{5}{3}$π，
所以y=sinx+acosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+θ），其中tanθ=a；
當x=$\frac{5}{3}$π時，y=|sin$\frac{5π}{3}$+acos$\frac{5π}{3}$|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
平方得：${（-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}a）}^{2}$=a²+1，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以y的最大值為$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
解法二：因為函數(shù)y的對稱軸為$\frac{5}{3}π$，
所以可知此時y的導函數(shù)值為0；
又y′=cosx-asinx，
當x=$\frac{5π}{3}$時，y′=cos$\frac{5π}{3}$-asin$\frac{5π}{3}$=0，
即$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=0，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以y的最大值為$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了求三角函數(shù)最值的應用問題，給三角函數(shù)求導也是一種求最值的方法，將三角函數(shù)求導后原三角函數(shù)的對稱軸處的導函數(shù)都為0，是基礎題目．