Question

15．已知函數f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，其中a∈R，e=2.71828…為自然對數的底數．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當x∈[0，1]時，若函數f（x）的圖象恒在直線y=e的上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導函數f′（x）=0的解，根據f（x）的兩極值點的大小關系及二次函數的性質得出f（x）的單調性；
（2）根據（1）的結論對f（x）在[0，1]上的單調性進行討論，求出f_min（x），令f_min（x）＞e解出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+ax-2a-3）+e^x（2x+a）=e^x[x²+（a-2）x-a-3]=e^x（x-1）（x+a+3）．
令f′（x）=0得x₁=1，x₂=-a-3，
①當-a-3=1即a=-4時，f′（x）=e^x（x-1）²≥0，
∴f（x）在R上單調遞增；
②當-a-3＜1即a＞-4時，f′（x）＞0的解為x＜-a-3或a＞1，
f′（x）＜0的解為-a-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-a-3）上單調遞增，在（-a-3，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
③當-a-3＞1即a＜-4，f′（x）＞0的解為x＜1或a＞-a-3，
f′（x）＜0的解為1＜x＜-a-3，
∴f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，-a-3）上單調遞減，在（-a-3，+∞）上單調遞增；
綜上，當a=-4時，f（x）在R上單調遞增；
當a＞-4時，f（x）在（-∞，-a-3）上單調遞增，在（-a-3，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
當a＜-4時，f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，-a-3）上單調遞減，在（-a-3，+∞）上單調遞增．
（2）①當a≤-4時，由（I）可知f（x）在[0，1]上單調遞增，∴f_min（x）=f（0）=-2a-3，
∵函數f（x）的圖象恒在直線y=e的上方，
∴-2a-3＞e，解得：a＜-3+e2，
∴a≤-4．
②當0＜-a-3＜1即-4＜a＜-3時，f（x）在（0，-a-3）上單調遞增，在（-a-3，1）上單調遞減，
∵函數f（x）的圖象恒在直線y=e的上方，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-2a-3＞e}\\{f（1）=（-a-2）e＞e}\end{array}\right.$，解得：-4＜a＜-3．
③當-a-3≤0即a≥-3時，f（x）在[0，1]上單調遞減，f_min（x）=f（1）=（-a-2）e，
∵函數f（x）的圖象恒在直線y=e的上方，
∴（-a-2）e＞e，解得：a＜-3，舍去．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-3）．

點評 本題考查了導數與函數單調性，函數最值的關系，不等式的解法，屬于中檔題．