Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x2

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）根據(jù)喊單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性并證明

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
∵f（-x）=

-x

1+x2

=-

x

1+x2

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性并證明，
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=（x₁-x₂）•

(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)定義法是解決本題的關(guān)鍵．