Question

已知直線l：y=kx-1（k＞0）與拋物線C：x²=4y交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若|MF|=2|NF|，則實(shí)數(shù)k的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線l：y=kx-1（k＞0）即為x=

1

k

（y+1），代入拋物線方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由判別式大于0，韋達(dá)定理及拋物線的定義，解方程即可得到k，注意檢驗(yàn)判別式．

解答： 解：直線l：y=kx-1（k＞0）即為x=

1

k

（y+1），
代入拋物線方程，可得y²+（2-4k²）y+1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則判別式（2-4k²）²-4＞0，
y₁+y₂=4k²-2①，y₁y₂=1②，
由于拋物線的準(zhǔn)線為y=-1，
則有拋物線的定義可得，
|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
由|MF|=2|NF|，甲乙y₁+1=2（y₂+1）③，
由①②③解得k²=

9

8

，檢驗(yàn)判別式大于0成立，
則k=

3 2

4

．
故答案為：

3 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．