Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且x=3時(shí)f（x）有極小值-9
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4（k為正整數(shù)）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立，求k的最大值．（解答過(guò)程可參考使用以下數(shù)據(jù)：ln7≈1.95，ln8≈2.08）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到方程組，求出a，b，從而求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x+

k+1

x

+4-klnx＞0，記g（x）=x+

k+1

x

+4-klnx，通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而有g(shù)（x）≥g（k+1）=k+6-kln（k+1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k+6-kln（k+1）＞0，記h（x）=1+

6

x

-ln（x+1），通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)h（x）的單調(diào)性，從而得到k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f′（x）=3ax²-2x+b，因?yàn)楹瘮?shù)在x=3時(shí)有極小值-9，
所以

27a-6+b=0 27a-9+3b=-9

，從而得a=

1

3

，b=-3，
所求的f（x）=

1

3

x³-x²-3x，所以f′（x）=x²-2x-3，
由f′（x）＜0解得-1＜x＜3，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，3）．
（Ⅱ）因?yàn)閒′（x）=x²-2x-3，所以f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4等價(jià)于
x²+4x+1＞k（xlnx-1），即x+

k+1

x

+4-klnx＞0，
記g（x）=x+

k+1

x

+4-klnx，
則g′（x）=

(x+1)(x-k-1)

x2

，
由g′（x）=0，得x=k+1，
所以g（x）在（0，k+1）上單調(diào)遞減，在（k+1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（k+1）=k+6-kln（k+1），
g（x）＞0對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立，
等價(jià)于k+6-kln（k+1）＞0，即1+

6

k

-ln（k+1）＞0，
記h（x）=1+

6

x

-ln（x+1），
則h′（x）=-

6

x2

-

1

x+1

＜0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又h（6）=2-ln7＞0，h（7）=

13

7

-ln8＜0，
所以k的最大值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．