Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，其中實(shí)數(shù)a為常數(shù)．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（2）先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)設(shè)h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx 由h'（x）在（0，1]上是減函數(shù)，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通過(guò)研究2-a的正負(fù)可判斷h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)F（x）的單調(diào)性，可求參數(shù)的取值范圍

解答 解：（1）a=2，y=f（x）=x²+2x-lnx，
∴f′（x）=2x+2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=2+2-1=3，f（1）=1+2-0=3，
∴曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y-3=3×（x-1），即y=3x．
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，f（x）=x²+ax-lnx，
∴g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
設(shè)h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，
則h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+2-a，
易知h′（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
從而h′（x）≥h′（1）=2-a，
①當(dāng)2-a≥0時(shí)，即a≤2時(shí)，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函數(shù)
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，
即g′（x）≤0區(qū)間（0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴a≤2滿足題意，
②當(dāng)2-a＜0時(shí)，即a＞2時(shí)，設(shè)函數(shù)h′（x）的唯一零點(diǎn)為x₀，則h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，1）單調(diào)遞減，
又∵h(yuǎn)（1）=0，
∴h（x₀）＞0，
又∵h(yuǎn)（e^-a）＜0，
∴h（x）在（0，1）內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)m，
當(dāng)x∈（0，m）時(shí)，h（x）＜0，
當(dāng)x∈（m，1）時(shí)，h（x）＞0，從而f（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，1）上單調(diào)遞增，與在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)矛盾，
∴a＞2不合題意，
綜合所述a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)能力，函數(shù)單調(diào)性的判定，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，試題具有一定的綜合性，屬于中檔題．