Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）過點P（1，-1），求曲線y=f（x）在點P處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲線y=f（x）過點P（1，-1），可得-1=ln1-m，解得m，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，利用點斜式可得切線方程．
（2）f（x）≤0恒成立，即lnx-mx≤0恒成立，可得mx≥lnx．又f（x）定義域為（0，+∞），可得$m≥\frac{lnx}{x}$恒成立．設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出．
（3）$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$．對m分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

解答 解：（1）∵曲線y=f（x）過點P（1，-1），∴-1=ln1-m，解得m=1．
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
f′（1）=0，
∴過點P（1，-1）的切線方程為y=-1．
（2）∵f（x）≤0恒成立，即lnx-mx≤0恒成立，∴mx≥lnx．
又∵f（x）定義域為（0，+∞），∴$m≥\frac{lnx}{x}$恒成立．
設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}$，∵$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
∴當(dāng)x=e時，g'（e）=0．
當(dāng)0＜x＜e時，g'（x）＞0，g（x）為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)x＞e時，g'（x）＜0，g（x）為單調(diào)減函數(shù)．
∴$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$，
∴當(dāng)$m≥\frac{1}{e}$時，f（x）≤0恒成立．
（3）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$．
①當(dāng)m≤0時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）為單增函數(shù)，∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
②當(dāng)$\frac{1}{e}＜m＜1$時，即$1＜\frac{1}{m}＜e$時，$x∈（0，\frac{1}{m}）$時，f'（x）＞0，f（x）為單增函數(shù)．
$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$時，f'（x）＜0，f（x）為單減函數(shù)．
∴x∈[1，e]上，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=-lnm-1$．
③當(dāng)m≥1時，$0＜\frac{1}{m}≤1$，f（x）在$（\frac{1}{m}，+∞）$為單減函數(shù)，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．
④當(dāng)$0＜m≤\frac{1}{e}$時，$\frac{1}{m}$≥e，f（x）在$（0，\frac{1}{m}）$為單增函數(shù)，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
綜上所述：$m≤\frac{1}{e}$時，f（x）_max=f（e）=1-me．
當(dāng)$\frac{1}{e}＜m＜1$時，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=-lnm-1$．
當(dāng)m≥1時，x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、解不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．