Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=ln（1-x）-ln（1+x），有下列結(jié)論：
①f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），
②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，
③f（x）在其定義域上是增函數(shù)，
④對f（x）的定義域中任意x有f（

2x

1+x2

）=2f（x）．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求出定義域，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明出函數(shù)為減函數(shù)，問題得以解決

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ln（1-x）-ln（1+x），
∴

1-x＞0 1+x＞0

，
解得-1＜x＜1，
故f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），故①正確，
∵f（-x）=ln（1+x）-ln（1-x）=-[ln（1-x）-ln（1+x）]=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故②正確；
設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=ln（1-x₁）-ln（1+x₁）-ln（1-x₂）+ln（1+x₂）=ln

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
∵1-x₁＞1-x₂，1+x₂＞1+x₁，
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
∴l(xiāng)n

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在其定義域上是減函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
∵f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）=ln

1-x

1+x

，
∴f（

2x

1+x2

）=ln

1- 2x 1+x2

1+ 2x 1+x2

=ln(

1-x

1+x

)2=2lnln

1-x

1+x

=2f（x），故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性奇偶性，代入法求函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．