Question

4．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列（n∈N^*），且a₁=1，b₁=3，已知a₂+b₃=30，a₃+b₂=14
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=（a_n+1）•b_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，（n∈N^*），試比較T_n與2a_nb_n的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得T_n，通過(guò)“作差法”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，等比數(shù)列{b_n}公比為q．
∵a₁=1，b₁=3，a₂+b₃=30，a₃+b₂=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d+3{q}^{2}=29}\\{2d+3q=13}\end{array}\right.$，化為2q²-q-15=0，
解得：q=3，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3ⁿ．
（Ⅱ） c_n=（a_n+1）•b_n=2n•3ⁿ，
∴T_n=2（3+2×3²+…+n•3ⁿ），
3T_n=2[3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
∴-2T_n=2（3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹）=2$[\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n×{3}^{n+1}]$=（1-2n）×3ⁿ⁺¹-3，
∴T_n=$（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{2}$．
又2a_nb_n=2（2n-1）×3ⁿ．
∴T_n-2a_nb_n=$（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{2}$-2（2n-1）×3ⁿ=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}（2n-1）•{3}^{n}$，
當(dāng)n=1時(shí)，T_n=2a_nb_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＜2a_nb_n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、“作差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．