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點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB=BC=AC=
3
，若四面體ABCD體積的最大值為
3
，則這個球的表面積為（　　）
A、
169
16
π
B、8π
C、
289π
16
D、
25π
16
考點：球的體積和表面積
專題：綜合題,空間位置關系與距離
分析：根據幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．
解答： 解：根據題意知，△ABC是一個等邊三角形，其面積為
3
3
4
，外接圓的半徑為1．
小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為
1
3
S△ABC×DQ=
3
，
∴DQ=4，
設球心為O，半徑為R，
則在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4-R）2，∴R=
17
8

則這個球的表面積為：S=4π（
17
8
）2=
289π
16

故選C．
點評：本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，△ABC中，延長CB到D，使BD=BC，當E點在線段AD上移動時，若
AE
=λ
AB
+μ
AC
，則t=λ-μ的最大值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=(
1
2
)x-
1
2
的圖象可能是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數學 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，E為CD中點．
（1）求證：B1E⊥AD1；
（2）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長．若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是等邊三角形，俯視圖是半圓．現有一只螞蟻從點A出發(fā)沿該幾何體的側面環(huán)繞一周回到A點，則螞蟻所經過路程的最小值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=|x-1|+|x-a|
（I）當a=2時，解不等式f（x）≥4．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）設x＞-1，試比較ln（1+x）與x的大��；
（2）是否存在常數a∈N，使得a＜
1
n
n
k=1
(1+
1
k
)k＜a+1對任意大于1的自然數n都成立？若存在，試求出a的值并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

△ABC中，角A，B的對邊分別為a，b，則“A＞B”是“a＞b”的
 
條件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若不等式組
y≤x
y≥0
x≤1
表示的平面區(qū)域為M，不等式y(tǒng)≥x2表示的平面區(qū)域為N，現隨機向區(qū)域M內投擲一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為（　�。�
A、
1
6
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3

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