Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ+4cosθ=0．
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）已知直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)M（-2，0），求|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出直線l的普通方程；由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的普通方程．
（Ⅱ）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，將$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入y²=-4x，得：3t²+4t-8=0，由此利用韋達(dá)定理能求出|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

解答 解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得y=$\sqrt{3}$（x-2），
∴直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0．
由ρsin²θ+4cosθ=0，得ρ²sin²θ+4ρcosθ=0，
又∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲線C的普通方程為y²=-4x．
（Ⅱ）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入y²=-4x，得：3t²+4t-8=0，
∴${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{4}{3}$，t₁t₂=-$\frac{8}{3}$，
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$可化為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}×（2t）}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}×（2t）}\end{array}\right.$，
∴|MA|=|2t₁|，|MB|=|2t₂|，∴|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{2|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{4}{3}÷\frac{16}{3}$=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查直線、橢圓的直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩條線段的倒數(shù)差的絕對值的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．