Question

1．已知雙曲線(xiàn)Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)為l，圓C：（x-a）²+y²=8與l交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC是等腰直角三角形，且$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)Γ的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{13}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{13}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$

Answer 1

分析 求出雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，圓C的圓心和半徑，設(shè)OA=t，由$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，
過(guò)C作CD⊥AB，且D為AB的中點(diǎn)，運(yùn)用直角三角形的勾股定理和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，解得a，b，c，再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線(xiàn)Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線(xiàn)l的方程為y=$\frac{a}$x，
圓C：（x-a）²+y²=8的圓心C（a，0），半徑為r=2$\sqrt{2}$，
由△ABC為等腰直角三角形，可得AB=$\sqrt{2}$r=4，
設(shè)OA=t，由$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，
過(guò)C作CD⊥AB，且D為AB的中點(diǎn)，OD=3，AB=4，AD=2，
C到直線(xiàn)l的距離為CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
在直角三角形OCD中，CD²=OC²-OD²，
在直角三角形ACD中，CD²=AC²-AD²，
即有a²-9=8-4，解得a=$\sqrt{13}$，
即有CD=2=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，解得b=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{13+\frac{52}{9}}$=$\frac{13}{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要是漸近線(xiàn)方程和離心率的求法，考查圓的垂徑定理和直角三角形的勾股定理的運(yùn)用，以及向量的共線(xiàn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．