Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，${S_n}={n^2}+n$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{{a_n}+\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列定義和等差數(shù)列的性質(zhì)求出公比q，再求出首項(xiàng)，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和裂項(xiàng)求和分組求出即可．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q：因?yàn)閍₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列，
故a₂+a₄=2（a₃+1），
即a₄=2a₃，
故q=2；
因?yàn)?{a_1}=\frac{a_2}{q}=1$，
即a_n=2^n-1．
（2）因?yàn)镾_n=n²+n，
故當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
綜上所述b_n=2n，
故$\frac{4}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故數(shù)列$\left\{{{a_n}+\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為$\frac{{1×（{1-{2^n}}）}}{1-2}+（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）={2^n}-1+1-\frac{1}{n+1}={2^n}-\frac{1}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，“裂項(xiàng)相消法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．