已知函數(shù)f（x）=ax3+x2-x+1，（a＞0）．
（I）f（x）在（2，+∞）上是否存在單調(diào)遞增區(qū)間，證明你的結(jié)論．
（II）若f（x）在數(shù)學(xué)公式上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（I）f′（x）=3ax2+2x-1
f（x）在（2，+∞）上是否存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f′（x）＞0
∵a＞0，f′（x）=3ax2+2x-1是開口向上的拋物線
∴f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f′（x）＞0
∴f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）令f′（x）=3ax2+2x-1=0，∴，
∵a＞0，∴f（x）在x1處取極大值，在x2處取極小值，
∴f（x）在（-∞，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增
∵f（x）在上單調(diào)遞增，∴
∴
∴
∴a2-a≥0
∵a＞0，∴a≥1
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥1
分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax2+2x-1，要使f（x）在（2，+∞）上是否存在單調(diào)遞增區(qū)間，即需要f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f′（x）＞0，根據(jù)a＞0，f′（x）=3ax2+2x-1是開口向上的拋物線，可證結(jié)論；
（II）令f′（x）=3ax2+2x-1=0，求得，，可知f（x）在（-∞，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)f（x）在上單調(diào)遞增，可得
，從而可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的運用，確定函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案