Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；

（2）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當和時，的正負，進而得出的單調(diào)性；

（2）求出，令，得，設(shè)，通過導函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成立，即可求出的取值范圍.

解：（1）因為，

所以，

①當時，，在上單調(diào)遞減.

②當時，令，則；令，則，

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）因為，可知，

，

令，得.

設(shè)，則.

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以在上的值域是，即.

當時，沒有實根，且，

在上單調(diào)遞減，，符合題意.

當時，，

所以有唯一實根，

當時，，在上單調(diào)遞增，，不符合題意.

綜上，，即的取值范圍為.