Question

已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（1）=-1，對任意a，b∈R，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＜0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）解關(guān)于x的不等式f[

k(1-x)

x-2

]＜1(0≤k＜1)．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞減，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式化為具體不等式，再分類討論，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，得f（0）=0，
又已知f（1）=-1，所以函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞減．
證明：令任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，在已知中，取a=x₁，b=-x₂，則

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＜0，
∵函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（-x₂）=-f（x₂），
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞減；
（2）∵1=-f（1）=f（-1）
∴由f[

k(1-x)

x-2

]＜1，得：f[

k(1-x)

x-2

]＜f(-1)
∵函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞減
∴

k(1-x)

x-2

＞-1，即：

(1-k)x+k-2

x-2

＞0
∴當(dāng)0＜k＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜2或x＞

2-k

1-k

}；
當(dāng)k=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≠2}．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．