Question

已知sinα，cosα是關于x的二次方程4x²+2mx+m=0的兩個根．
（1）求m的值；
（2）求的值．

Answer 1

解：（1）∵sinα，cosα是關于x的二次方程4x²+2mx+m=0的兩個根，
∴當△=（2m）²-16m≥0，即m≤0，或m≥4時，
有sinα+cosα=-=-，sinαcosα=，
又sin²α+cos²α=1，即（sinα+cosα）²-2sinαcosα=-=1，
化簡得：（m-1）²=5，
解得：m=1+（舍去）或m=1-，
則；（4分）
（2）∵sinα+cosα=-，sinαcosα=，
∴
=
=
=
=-．（5分）
分析：（1）由已知中sinθ、cosθ是關于x的方程4x²+2mx+m=0的兩個實根，我們根據(jù)方程存在實根的條件，我們可以求出滿足條件的m的值，然后根據(jù)韋達定理結(jié)合同角三角函數(shù)關系，我們易求出滿足條件的m的值；
（2）先由第一問求出的m確定出sinα+cosα及sinαcosα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，再利用平方差公式分解因式，分母利用同角三角函數(shù)間的基本關系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，變形后與分子約分可得到關于sinα+cosα及sinαcosα的關系式，把sinα+cosα及sinαcosα的值代入即可求出值．
點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，三角函數(shù)中的恒等變換應用，其中本題第一問易忽略方程存在實數(shù)根，而錯解為，第二問利用三角函數(shù)的恒等變形把所求式子化為關于sinα+cosα及sinαcosα的形式是解題的關鍵，同時注意“1”的靈活運用．