Question

【題目】數(shù)列{an}中，已知a1= ，an+1= ．
（1）證明：an＜an+1＜ ；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，（ ） ＜2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由 ，得 ，即0≤an≤1．

∴an+1= = ，

又a1= ≠0，且 ，∴0 ．

∴ ＞0．

即

（2）證明：當(dāng)n=2時(shí)， ，

又∵ ，

∴ ．

即當(dāng)n=2時(shí)， 成立，

當(dāng)n=k時(shí)， 成立，即 成立，

當(dāng)n=k+1時(shí)， = ．

∵an+1＞an，∴ak+1＞ak

∴ ．

則 = ，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)， 也成立，

∴當(dāng)n≥2時(shí)， 成立

【解析】（1）由已知a1= ，an+1= ，即可得到 ，又0 ，進(jìn)一步得到 ，則結(jié)論an＜an+1＜ 可證；（2）首先證當(dāng)n=2時(shí)， 成立，即當(dāng)n=k時(shí)， 成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1＞ak ， 則 = ，則結(jié)論當(dāng)n≥2時(shí)，（ ） ＜2可證．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．