Question

10．已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}$（x-x^-1），其中a＞0，a≠1，
（1）討論f（x）的奇偶性和單調(diào)性；
（2）對于函數(shù)f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（-2m）＜0，求實數(shù)m取值的集合；
（3）是否存在實數(shù)a，使得當x∈（-∞，2）時f（x）的值恒為負數(shù)？，若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，求出函數(shù)的解析式，再討論f（x）的奇偶性和單調(diào)性；
（2）由f（x）是R上的奇函數(shù)，增函數(shù)，f（1-m）+f（-2m）＜0有-1＜1-m＜2m＜1，即可求實數(shù)m取值的集合；
（3）由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒為負數(shù)，則f（2）≤0，求出a的范圍，可得結(jié)論．

解答 解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，∴f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），
∴f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），…（2分）
因為f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）是R上的奇函數(shù)；…（4分）
當a＞1時，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，a^x是增函數(shù)，-a^-x是增函數(shù)
所以f（x）是R上的增函數(shù)；
當0＜a＜1時，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，a^x是減函數(shù)，-a^-x是減函數(shù)，
所以f（x）是R上的增函數(shù)；
綜上所述，a＞0，a≠1，f（x）是R上的增函數(shù) …（6分）
（2）由f（x）是R上的奇函數(shù)，增函數(shù)，f（1-m）+f（-2m）＜0有-1＜1-m＜2m＜1，
解得$\frac{1}{3}$＜m＜$\frac{1}{2}$  …（9分）
（3）因為f（x）是R上的增函數(shù)，
由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒為負數(shù)，則f（2）≤0，
即f（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）≤0
解得 a＜0，與a＞0，a≠1矛盾，
所以滿足條件的實數(shù)a不存在．…（13分）

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學生解不等式的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．