Question

14．已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合，若曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1．
（1）將曲線C的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）由直線l上一點向曲線C引切線，求切線長的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得直角坐標(biāo)方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點到直線的距離公式可得圓心C（3，0）到直線l的距離d，即可得出切線長的最小值=$\sqrt{27z54vd^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得：（x-3）²+y²=4，展開可得：x²+y²-6x+5=0，∴極坐標(biāo)方程為ρ²-6ρcosθ+5=0．
（2）直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，展開為：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=1，可得y-x=1．
圓心C（3，0）到直線l的距離d=$\frac{|3-0+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴切線長的最小值=$\sqrt{x06um07^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．