Question

已知冪函數(shù)f（x）=（m²-m-1）x^-5m-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，又g（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞1）．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈（t，a）時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋?，+∞），試求a與t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法,冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性以及性質(zhì)，列出關(guān)系式，求出m，即可求解函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求出g（x）的定義域．結(jié)合a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），判斷g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，通過(guò)g（x）的值域列出方程

a+1

a-1

=a，即可求解a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

m2-m-1=1 -5m-3＞0

解得m=-1，
∴g(x)=loga

x+1

x-1

．…（3分）
（2）由

x+1

x-1

＞0可解得x＜-1，或x＞1，
∴g（x）的定義域是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）
又a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，于是x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

．
由 a＞1，有loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，即g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．…（8分）
又g（x）的值域是（1，+∞），
∴

t=1 g(a)=1

得g(a)=loga

a+1

a-1

=1，可化為

a+1

a-1

=a，
解得a=1±

2

，
∵a＞1，∴a=1+

2

，
綜上，a=1+

2

 ，t=1．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，單調(diào)性以及函數(shù)的最值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．