Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；并判定函數(shù)f（x）單調(diào)性（不必證明）．
（2）若對于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知f（0）=0求出b，再由奇函數(shù)的定義求出b；
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，借助與一元二次函數(shù)的關(guān)系進行判斷．

解答： 解：∵定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，
∴

f(0)=0 f(1)=f(-1)

，
即

-20+b 20+1+a =0 -21+b 21+1+a = -21+b 2-1+1+a

化簡，得

-1+b 2+a =0 -2+b 4+a =- - 1 2 +b 1+a

解得，

a=2 b=1

∴a的值是2，b的值是1．
∴f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知，f（x）是減函數(shù)，∴原問題轉(zhuǎn)化為t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
所以實數(shù)k的取值范圍是：k＜-

1

3

，

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及不等式恒成立問題，定義是解決單調(diào)性問題的基本方法，而恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．