Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

π

6

），ω∈R，且ω≠0．
（Ⅰ）若f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

6

，2），且0＜ω＜3，求ω的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數(shù)g（x）=mf（x）+n（m＞0），當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇-5，1]，求m，n的值；
（Ⅲ）若函數(shù)h（x）=f（x-

π

6ω

）在[-

π

3

，

π

3

]上是減函數(shù)，求ω的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

6

，2），可得f（

π

6

）=2sin（

π

6

ω+

π

6

）=2，解得ω=12k+2（k∈Z），0＜ω＜3，從而可得ω的值；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值域，解關(guān)于m、n的方程組即可求得m，n的值；
（Ⅲ）函數(shù)h（x）=f（x-

π

6ω

）在[-

π

3

，

π

3

]上是減函數(shù)⇒|ω|≤

3

2

，且

2kπ -ω + π 2ω ≤- π 3 2kπ -ω - π 2ω ≥ π 3

，解之即可得ω的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（

π

6

）=2sin（

π

6

ω+

π

6

）=2，
∴

π

6

ω+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴ω=12k+2（k∈Z），0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴g（x）=mf（x）+n=2msin（2x+

π

6

）+n，
∵x∈[0，

π

2

]時(shí)，（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
又g（x）的值域?yàn)閇-5，1]，
∴當(dāng)m＞0時(shí)，

2m+n=1 -m+n=-5

①或當(dāng)m＜0時(shí)，

-2m+n=-5 -m+n=1

②
解①得：m=2；解②得：m=6（舍去），
∴m=2．
（Ⅲ）∵h(yuǎn)（x）=f（x-

π

6ω

）=2sin[ω（x-

π

6ω

）+

π

6

]=2sinωx=-2sin（-ωx），
由2kπ-

π

2

≤-ωx≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得

2kπ

-ω

+

π

2ω

≤x≤

2kπ

-ω

-

π

2ω

（k∈Z），
∵函數(shù)h（x）=f（x-

π

6ω

）在[-

π

3

，

π

3

]上是減函數(shù)，
∴

1

2

T=

π

|ω|

≥

2π

3

，解得|ω|≤

3

2

，且

2kπ -ω + π 2ω ≤- π 3 2kπ -ω - π 2ω ≥ π 3

，解得：-

3

2

≤ω＜0．
∴ω的取值范圍為[-

3

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與周期性及最值，考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及綜合運(yùn)算能力，屬于難題．