Question

4．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，線段CD的中垂線為AE，垂足為E，將△DAE沿AE翻折到△A′AE，此時(shí)點(diǎn)A′在平面ABCE上的射影恰為點(diǎn)E．
（1）若AE=$\frac{1}{2}$AB，求證：平面A′BC⊥平面A′AB；
（2）若直線A′C與平面A′AB所成的角小于30°，求AE的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，要證兩平面垂直，只需求出這兩個(gè)平面的法向量，再證這兩個(gè)法向量垂直即可．
（2）設(shè)AE=a，先求出平面的法向量，再利用線面所成的角小于30°，得關(guān)于參數(shù)a的不等式，即可求出AE的取值范圍．

解答 解：（1）∵線段CD的中垂線為AE，
∴DE=EC=1，DE⊥AE，CE⊥AE，A′E⊥AE．
又點(diǎn)A'在平面ABCE上的射影恰為點(diǎn)E，
∴以E為原點(diǎn)，$\overrightarrow{EA}$、$\overrightarrow{EC}$、$\overrightarrow{E{A}^{'}}$分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz．
∵AB=2，∴AE=1，∴C（0，1，0），B（1，2，0），A（1，0，0），A'（0，0，1），
∴$\overrightarrow{{A}^{'}C}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{{A}^{'}B}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{{A}^{'}A}$=（1，0，-1）．
設(shè)平面A'BC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），由$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{A}^{'}B}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{A}^{'}C}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=y}\end{array}\right.$，取y=1，則z=1，x=-1，
∴平面A′BC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-1，1，1），
同理，可得平面A′AB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-1）×1+1×0+1×1=0，
∴平面A′BC⊥平面A′AB．
（2）設(shè)AE=a，得B（a，2，0），A（a，0，0），A'（0，0，1），
∴$\overrightarrow{{A}^{'}B}$=（a，2，-1），$\overrightarrow{{A}^{'}A}$=（a，0，-1），
設(shè)平面A′AB的法向量為$\overrightarrow{{n}_{3}}$（x₁，y₁，z₁），由$\overrightarrow{{n}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{A}^{'}B}$，$\overrightarrow{{n}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{A}^{'}A}$，得$\left\{\begin{array}{l}{a{x}_{1}+2{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{a{x}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取z₁=1，則y₁=0，${x}_{1}=\frac{1}{a}$，
∴平面A′AB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{3}}$=（$\frac{1}{a}$，0，1）．
設(shè)$\overrightarrow{{A}^{'}C}$與平面A′AB的法向量$\overrightarrow{{n}_{3}}$所成的角為α，直線A′C與平面A′AB所成的角為β，
則sinβ=|cosα|，
∵0°＜β＜30°，∴0＜sin β＜$\frac{1}{2}$，∴0＜$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}C}•\overrightarrow{{n}_{3}}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}C}|•|\overrightarrow{{n}_{3}}|}$$＜\frac{1}{2}$，∴0＜$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{1}{{2}^{2}}+1}}$$＜\frac{1}{2}$，
解得0＜a²＜1，∵a＞0，∴0＜a＜1，∴AE的取值范圍是{a|0＜a＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．