Question

19．已知曲線C：$y=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-4x+1$，直線l：x+y+2k-1=0，當(dāng)x∈[-3，3]時，直線l恒在曲線C的上方，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $k＞-\frac{5}{6}$
• B． $k＜-\frac{5}{6}$
• C． $k＜-\frac{3}{4}$
• D． $k＞-\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 將已知條件當(dāng)x∈[-3，3]時，直線l 恒在曲線C的上方，等價于x在（-3，3）內(nèi)（-x-2k+1）-$\frac{1}{3}$x³-x²-4x+1＞0恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出函數(shù)的最值．

解答 解：命題等價于x在（-3，3）內(nèi)，
（-x-2k+1）-（$\frac{1}{3}$x³-x²-4x+1）＞0恒成立
即k＜-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
設(shè)y=-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
y'=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（3-x）（1+x）
所以函數(shù)y=-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
在[-3，-1）內(nèi)y遞減，（-1，3]內(nèi)遞增
所以x=-1，y取最小值-$\frac{5}{6}$，
所以k＜-$\frac{5}{6}$，
故選：B．

點評 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般的方法是求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，判斷出根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)值，求出函數(shù)的極值及區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值，選出最值．