Question

11．已知函數f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$，
（1）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性并加以證明；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用單調函數的定義證明函數的單調性設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＞0，得到f（x）在（0，+∞）單調遞增；
（2）當x≥0時利用分式的性質求值域因為0≤x＜x+2，得到$\frac{x}{x+2}$＜1，即0≤f（x）＜1．

解答 解：（1）設0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$＞0，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增．
（2）當x≥0時，f（x）=$\frac{x}{x+2}$＞0，
又$\frac{x}{x+2}$=1-$\frac{2}{x+2}$＜1，即0≤f（x）＜1；
當x＜0（x≠-2）時，f（x）=$\frac{-x}{x+2}$=y，
∴x=$\frac{-2y}{y+1}$，由x＜0，得y＜-1或y＞0，
∴f（x）的值域為（-∞，-1）∪[0，+∞）．

點評 本題主要考查利用單調函數的定義證明函數的單調性，利用反函數與導數求函數的值域，解決此類問題的方法是熟悉單調函數的定義與求值域的方法．