Question

（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切，點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上．

（Ⅰ）求的值，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（Ⅱ）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），（，，），（，，，）；（），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；

Answer 1

思路點(diǎn)撥：（本題將函數(shù)與數(shù)列知識(shí)交匯在一起，考查了觀察、歸納、猜想、用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法，考查了等差數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，考查了同學(xué)們觀察問題、解決問題的能力。（1）將點(diǎn)代入函數(shù)中，通過(guò)整理得到與的關(guān)系，則可求；（2）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成首項(xiàng)為68、公差為80構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可求．_。

解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

故，所以．------------------------1分

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．…………………………………………4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

① 當(dāng)時(shí)，有上面的求解知，猜想成立．-------------5分

② 假設(shè)時(shí)猜想成立，即成立，

則當(dāng)時(shí)，注意到，

故，．

兩式相減，得，所以．

由歸納假設(shè)得，，

故．

這說(shuō)明時(shí)，猜想也成立．

由①②知，對(duì)一切，成立 ．……………………………………8分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>（），所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，  故 是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20．同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20．故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010．………………14分

歸納總結(jié)：由已知求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，做出猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合的一種重要的解決數(shù)列通項(xiàng)公式問題的方法。證明的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和假設(shè)尋找與或與間的關(guān)系，使命題得證。