Question

1．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使得$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，其中O為坐標原點，且$|\overrightarrow{P{F_1}}|=3|\overrightarrow{P{F_2}}|$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 取PF₂的中點A，利用$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，從而可得PF₁⊥PF₂，利用雙曲線的定義及勾股定理，可得結(jié)論．

解答 解：取PF₂的中點A，則
∵$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$
∵O是F₁F₂的中點
∴OA∥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=2|PF₂|，
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴10a²=4c²，
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
故選C．

點評 本題考查向量知識的運用，考查雙曲線的定義，利用向量確定PF₁⊥PF₂是關(guān)鍵．