Question

如圖，兩座建筑物AB，CD的底部在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，他們的高度分別是12m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=45°．
（Ⅰ）求BC的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）在線段AB上取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P看建筑物CD的視角為∠CPD，問點(diǎn)P在何處時(shí)，∠CPD最大？

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）如圖，先求得tan∠DAE=

ED

AE

=

8

AE

，tan∠CAE=

CE

AE

=

12

AE

，再根據(jù)tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）利用兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)求得AE=24，可得故BC=AE的值．
（Ⅱ）由題意可得，∠CPD為銳角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．如圖，設(shè)CF=x，0≤x≤12，則DF=20-x，tan∠CPF=

x

24

，tan∠DPF=

20-x

24

，計(jì)算tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=

480

x2-20x+576

，可得當(dāng)x=10時(shí)，tan∠CPD最大值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，作AE⊥CD，E為垂足．
∵AB∥CD，AB=12，CD=20，∴ED=8，CE=12．
在Rt△DAE中，tan∠DAE=

ED

AE

=

8

AE

，
在Rt△CAE中，tan∠CAE=

CE

AE

=

12

AE

．
再根據(jù)∠CAD=45°，可得tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）
=

tan∠DAE+tan∠CAE

1-tan∠DAE•tan∠CAE

=

8 AE + 12 AE

1- 8 AE • 12 AE

，
求得AE=24，或AE=-24（舍去）．
故BE=AC=24．
（Ⅱ）由題意可得，∠CPD為銳角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．
如圖，作 PF⊥CD，F(xiàn)為垂足，則 PF=AE=24，
設(shè)CF=x，0≤x≤12，則DF=20-x，tan∠CPF=

x

PF

=

x

24

，
tan∠DPF=

x

PF

=

20-x

24

，
tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=

tan∠CPF+tan∠DPF

1-tan∠CPF•tan∠DPF

=

x 24 + 20-x 24

1- x 24 • 20-x 24

=

480

x2-20x+576

，
故當(dāng)x=10時(shí)，tan∠CPD取得最大值為

120

119

，即當(dāng)BP=10時(shí)，∠CPD取得最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題．