Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）記函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx₁+λlnx₂恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）分離參數(shù)得：a＞$\frac{1+λ}{{x}_{1}+{λx}_{2}}$從而可得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{（1+λ）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}+{λx}_{2}}$恒成立；再令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，t∈（0，1），從而可得不等式lnt＜$\frac{（1+λ）（t-1）}{t+λ}$在t∈（0，1）上恒成立，再令h（t）=lnt-$\frac{（1+λ）（t-1）}{t+λ}$，從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a（x＞0），
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≥0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=0，得x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）=$\frac{1-ax}{x}$＞0，當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）=$\frac{1-ax}{x}$＜0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$]，單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁，x₂分別是方程lnx-ax=0的兩個(gè)根，
即lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂
所以原式等價(jià)于1+λ＜ax₁+λax₂=a（x₁+λx₂），因?yàn)棣耍?，0＜x₁＜x₂，
所以原式等價(jià)于a＞$\frac{1+λ}{{x}_{1}+{λx}_{2}}$，又由lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂作差得，ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=a（x1-x2），即a=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
所以原式等價(jià)于ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{1+λ}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
因?yàn)?＜x₁＜x₂，原式恒成立，即ln $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{（1+λ）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}+{λx}_{2}}$恒成立，
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，t∈（0，1），
則不等式lnt＜$\frac{（1+λ）（t-1）}{t+λ}$在t∈（0，1）上恒成立．
令h（t）=lnt-$\frac{（1+λ）（t-1）}{t+λ}$，
又h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{{（1+λ）}^{2}}{{（t+λ）}^{2}}$=$\frac{（t-1）（t{-λ}^{2}）}{{t（t+λ）}^{2}}$，
當(dāng)λ²≥1時(shí)，可見(jiàn)t∈（0，1）時(shí)，h′（t）＞0，
所以h（t）在t∈（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合題意．
當(dāng)λ²＜1時(shí)，可見(jiàn)t∈（0，λ²）時(shí)，h′（t）＞0，t∈（λ²，1）時(shí)h′（t）＜0，
所以h（t）在t∈（0，λ²）時(shí)單調(diào)增，在t∈（λ²，1）時(shí)單調(diào)減，又h（1）=0，
所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去．
綜上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只須λ²≥1，又λ＞0，所以λ≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于綜合題．