Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x．
（1）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，求出函數(shù)的最小值，即可證明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．

解答 解：（1）依題意，f'（x）=e^x，故f'（1）=e，故所求切線方程為y-e=e（x-1），即y=ex．
（2）設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
設(shè)$h（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，則$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以函數(shù)$h（x）=g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)?g'（{\frac{1}{2}}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0，g'（1）=e-1＞0$，
所以函數(shù)$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x₀，且${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$．
因?yàn)間'（x₀）=0時(shí)，所以${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，即lnx₀=-x₀．
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g'（x）＞0．
所以當(dāng)x=x₀時(shí)，g（x）取得最小值g（x₀）．
故$g（x）≥g（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2＞0$．
綜上可知，不等式f（x）＞lnx+2在（0，+∞）上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，屬于中檔題．