Question

【題目】德國著名數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在數(shù)學領域成就顯著.19世紀,狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)” 其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集.則關于函數(shù)有如下四個命題,正確的為( )

A.函數(shù)是偶函數(shù)

B.,,恒成立

C.任取一個不為零的有理數(shù)T,對任意的恒成立

D.不存在三個點,,,使得為等腰直角三角形

Answer 1

【答案】ACD

【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項判斷即可．

對于A，若，則，滿足；若，則，滿足；故函數(shù)為偶函數(shù)，選項A正確；

對于B，取，則，，故選項B錯誤；

對于C，若，則，滿足；若，則，滿足，故選項C正確；

對于D，要為等腰直角三角形，只可能如下四種情況：

①直角頂點在上，斜邊在軸上，此時點，點的橫坐標為無理數(shù)，則中點的橫坐標仍然為無理數(shù)，那么點的橫坐標也為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立；

②直角頂點在上，斜邊不在軸上，此時點的橫坐標為無理數(shù)，則點的橫坐標也應為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立；

③直角頂點在軸上，斜邊在上，此時點，點的橫坐標為有理數(shù)，則中點的橫坐標仍然為有理數(shù)，那么點的橫坐標也應為有理數(shù)，這與點的縱坐標為0矛盾，故不成立；

④直角頂點在軸上，斜邊不在上，此時點的橫坐標為無理數(shù)，則點的橫坐標也應為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立．

綜上，不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D正確．

故選：．