Question

【題目】如圖，已知在四棱錐中，為中點，平面平面，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性質(zhì)可得，可得底面，從而可得結(jié)果；（2）以為，過作的垂線為建立坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求出二面角的余弦值.

詳解：（1）證明：∵，，，，

∴，，，，

∴，∴平面，

∴，

∵，為中點，

∴，∴底面，

∴平面平面．

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

∴，，，，

設(shè)平面的一個法向量為，平面的法向量為，則

由可得取，得，，即，

由可得取，得，，即，

∴．

故二面角的余弦值為．