【題目】(本小題滿分12分)
已知拋物線C的方程C:y2="2" p x(p>0)過點A(1,-2).
(I)求拋物線C的方程,并求其準線方程;
(II)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。
【答案】(I)拋物線C的方程為,其準線方程為(II)符合題意的直線l 存在,其方程為2x+y-1 =0.
【解析】
試題(Ⅰ)求拋物線標準方程,一般利用待定系數(shù)法,只需一個獨立條件確定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由拋物線方程確定其準線方程:,(Ⅱ)由題意設:,先由直線OA與的距離等于根據(jù)兩條平行線距離公式得:解得,再根據(jù)直線與拋物線C有公共點確定
試題解析:解 (1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的拋物線C的方程為
其準線方程為.
(2)假設存在符合題意的直線,
其方程為.
由得.
因為直線與拋物線C有公共點,
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直線OA到的距離
可得,解得.
因為-1[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合題意的直線存在,其方程為.
考點:拋物線方程,直線與拋物線位置關系
【名師點睛】求拋物線的標準方程的方法及流程
(1)方法:求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法,因為未知數(shù)只有p,所以只需一個條件確定p值即可.
(2)流程:因為拋物線方程有四種標準形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量.
提醒:求標準方程要先確定形式,必要時要進行分類討論,標準方程有時可設為y2=mx或x2=my(m≠0).
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知橢圓:的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過橢圓左焦點交橢圓于,為橢圓短軸的上頂點,當直線時,求的面積.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x),且f(1)=6,f(3)=2.若不等式f(x)>2mx+1在[-1,3]恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市每年春節(jié)前后,由于大量的煙花炮竹的燃放,空氣污染較為嚴重.該市環(huán)保研究所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染情況調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn),每天空氣污染的指數(shù).f(t),隨時刻t(時)變化的規(guī)律滿足表達式,其中a為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù),且a∈(0,1).
(1)令,求x的取值范圍;
(2)若規(guī)定每天中f(t)的最大值作為當天的空氣污染指數(shù),要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過5,試求調(diào)節(jié)參數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設是雙曲線:的右焦點,是左支上的點,已知,則周長的最小值是_______.
【答案】
【解析】
設左焦點為,利用雙曲線的定義,得到當三點共線時,三角形的周長取得最小值,并求得最小的周長.
設左焦點為,根據(jù)雙曲線的定義可知,所以三角形的周長為,當三點共線時,取得最小值,三角形的周長取得最小值. ,故三角形周長的最小值為.
【點睛】
本小題主要考查雙曲線的定義,考查三角形周長最小值的求法,屬于中檔題.
【題型】填空題
【結(jié)束】
16
【題目】已知分別是雙曲線的左、右焦點,過點作垂直與軸的直線交雙曲線于,兩點,若為銳角三角形,則雙曲線的離心率的取值范圍是_______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:①函數(shù);
②向量,,且,;
③函數(shù)的圖象經(jīng)過點
請在上述三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.
已知_________________,且函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)若,且,求的值;
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:①若直線,那么直線必平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線;②一個長為,寬為的矩形,其直觀圖的面積為;③若函數(shù)的定義域是,則的定義域是;④定義在上的函數(shù),若,則函數(shù)的圖象關于點中心對稱.其中所有正確命題的編號為____________.
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