Question

14．函數(shù)y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x的值域為[-4，$\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 利用換元法，將原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，對三角函數(shù)式進(jìn)行變形化簡后，求出三角函數(shù)的值域，得到本題結(jié)論．

解答 解：函數(shù)y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x，
令：x=2cosα，[0，π]，則函數(shù)y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x轉(zhuǎn)化為：y=sinα+4cosα；
化簡得：y=$\sqrt{17}$sin（α+φ），sinφ=$\frac{4}{\sqrt{17}}$，
∵$\frac{π}{2}$＞φ＞0，
∴當(dāng)α=π時，π＜α+φ＜$\frac{3}{2}$π．
故得y=$\sqrt{17}$sin（α+φ）=-$\sqrt{17}$×sinφ=-4．
當(dāng)α+φ=$\frac{π}{2}$時，y取得最大值$\sqrt{17}$．
故得函數(shù)y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x的值域為[-4，$\sqrt{17}$]；
故答案為：[-4，$\sqrt{17}$]；

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．