Question

設(shè)f（x）=

2x

x2+6

（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞k的解集是{x|x＞-2或x＜-3}，求k的值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＜k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,其他不等式的解法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0，由二次不等式性質(zhì)可知，-2，-3是方程kx²-2x+6k=0的兩根，代入求解即可；
（2）利用基本不等式得，f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

6

x

，即x=

6

時(shí)，等號(hào)成立．從而可確定k的值．

解答： 解：（1）∵x²+6＞0，
∴不等式f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0，
由二次不等式性質(zhì)可知，
-2，-3是方程kx²-2x+6k=0的兩根，
即-2+（-3）=

2

k

，
∴k=-

2

5

，
（2）∵x＞0，
f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

6

x

，即x=

6

時(shí)，等號(hào)成立．
∴不等式f（x）＜k恒成立?k＞

6

6

．
∴k的取值范圍是(

6

6

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式得性質(zhì)，和基本不等式在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．