Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，點(diǎn)M，N分別在線段AB、CD上，且MN⊥AB，BC=1，MB=2，∠CBM=60°，若梯形ABCD沿MN折起，使DN⊥NC，如圖乙．
（1）求證：平面AMND⊥平面MNCB；
（2）當(dāng)二面角D-BC-N的大小為30°時(shí)，求直線DB與平面MNCB所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得MN⊥AB，從而MN⊥NC，又DN⊥NC，從而NC⊥平面AMND，由此能證明平面AMND⊥平面MNCB．
（2）以N為原點(diǎn)，NM為x軸，NC為y軸，ND為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BCD的法向量和平面BCN的法向量，由二面角D-BC-N的大小為30°時(shí)，得到D（0，0，

3

4

），由此能求出直線DB與平面MNCB所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵如圖甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，
點(diǎn)M，N分別在線段AB、CD上，且MN⊥AB，
∴如圖乙中，MN⊥NC，又∵DN⊥NC，MN∩DN=N，
∴NC⊥平面AMND，
又NC?平面MNCB，∴平面AMND⊥平面MNCB．
（2）解：以N為原點(diǎn)，NM為x軸，NC為y軸，ND為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BC=1，MB=2，∠CBM=60°，
∴MC=

4+1-2×1×2×cos60°

=

3

，∴MC⊥BC，
∴∠MCN=∠BMC=30°，∴MN=

3

2

，NC=

3

2

，
∴C（0，

3

2

，0），B（

3

2

，2，0），設(shè)D（0，0，t），t＞0

CD

=（0，-

3

2

，t），

CB

=（

3

2

，

1

2

，0），
設(shè)平面BCD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CD =- 3 2 y+tz=0 n • CB = 3 2 x+ 1 2 y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，-3，-

9

2t

），
又平面BCN的法向量

m

=（0，0，1），
∵二面角D-BC-N的大小為30°時(shí)，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

- 9 2t

12+ 81 4t2

|=cos30°=

3

2

，
由t＞0，解得t=

3

4

，∴D（0，0，

3

4

），

BD

=（-

3

2

，-2，

3

4

），
設(shè)直線DB與平面MNCB所成角為θ，
sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=|

n • BD

| n |•| BD |

=

3 4

85 16

=

3 85

85

．
∴直線DB與平面MNCB所成角的正弦值為

3 85

85

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．