Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax+b（a≠0，b≠0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2，求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最值；
（Ⅱ）若a=-b，試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2，解得a=-1，b=1，求得極小值2，也為最小值，再求f（-2）和f（1），比較即可得到最大值；
（Ⅱ）若a=-b，f（x）=e^x+ax-a=0，x＞1，-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，即可討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+ax+b，∴f′（x）=e^x+a，
∴f′（0）=1+a，
∵函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2，
∴a=-1．
∵x=0，f（0）=2，
∴1+b=2，
∴b=1，
∴f（x）=e^x-x+1，
∴f′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時(shí)，有f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，有f′（x）＞0，f（x）遞增．
則x=0處f（x）取得極小值，也為最小值，且為2，
又f（-2）=e^-2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），
即有f（-2）為最大值e^-2+3；
（Ⅱ）若a=-b，f（x）=e^x+ax-a=0，x＞1，-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)x＜1和1＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=2處g（x）取得極小值，為e²，
∴-a＜e²，即a＞-e²，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；
-a=e²，即a=-e²，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
-a＞e²，即a＜-e²，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，注意函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．