Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，直線l與曲線C交于A，B兩點．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，化為ρ²+（ρsinθ）²=12，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得：t²-3t-9=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，
化為ρ²+（ρsinθ）²=12，可得3x²+4y²=12，
化為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），代入曲線C的方程可得：t²-3t-9=0，
∴t₁+t₂=3，t₁t₂=-9．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+36}$=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．