Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PC⊥底面ABCD．
（Ⅰ）若PC的中點(diǎn)為E，求證：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若E是直線PC上的動點(diǎn)，是否恒有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)EO，易證EO為△PAC的中位線，從而OE∥PA，再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDE；
（1）先證BD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，從而得證．

解答： 證明：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（2）∵底面是正方形，
∴BD⊥AC，
又PC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴BD⊥PC，
又AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
而E是直線PC上的動點(diǎn)，
∴AE?平面PAC，
∴BD⊥AE．

點(diǎn)評：本題主要考查線面平行和線面垂直的相關(guān)內(nèi)容．