Question

5．若f（x）=ax²+（a-2）x+a²是偶函數(shù)，則${∫}_{-a}^{a}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=$\frac{28}{3}$+2π．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值，求定積分的值即可．

解答 解：若f（x）=ax²+（a-2）x+a²是偶函數(shù)，
則a-2=0，即a=2，
故f（x）=2x²+4，
則${∫}_{-a}^{a}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=${∫}_{-2}^{2}$x²dx+${∫}_{-2}^{2}$xdx+${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4{-x}^{2}}$dx
=$\frac{1}{3}$x³${|}_{-2}^{2}$+$\frac{1}{2}$x²${|}_{-2}^{2}$+2π
=$\frac{28}{3}$+2π，
故答案為：$\frac{28}{3}$+2π．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查求定積分的值，是一道中檔題．