Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差大于0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=2的等比數(shù)列，且b₂S₂=16，b₃S₃=72．
（1）求a_n和b_n；
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+kb_k（k=1，2，3，…），求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和T_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列建立方程組求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)構(gòu)造的新數(shù)列的特點(diǎn)，利用乘公比錯(cuò)位相減法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出結(jié)果．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0）數(shù)列{b_n}的公比為q，
則a_n=1+（n-1）d，bn=2qn-1．
依題意得b₂S₂=2q（2+d）=16，b3S3=2q2(3+3d)=72
由此得

q(2+d)=8 q2(1+d)=12

∵d＞0，解得

d=2 q=2

．
∴a_n=2n-1，bn=2n．
（2）∵T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2•b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）
=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n）
令A(yù)=b₁+2b₂+…+nb_n
則A=2+2•2²+…+n•2ⁿ2A
=2²+2•2³+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹-A
=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴A=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
又S2n=

2n(1+a2n)

2

=4n2，
∴T2n+1=1+4n2+n•2n+1-2n+1+2
=3+4n²+（n-1）2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用．屬于中等題型．