Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N^*，n≥2），a₁=2．
（1）設(shè)b_n=

1

2n

（a_n+1），求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在等式兩邊同除以2ⁿ，利用等差數(shù)列的定義即可證得結(jié)論；
（2）由于通項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．

解答： 解：（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ+1，
∴a_n+1=2a_n-1+2ⁿ+2，
∵b_n=

1

2n

（a_n+1），
∴b_n-b_n-1=1
∴數(shù)列{b_n}是首項為

3

2

，公差為1的等差數(shù)列；
（2）b_n=

1

2n

（a_n+1）=n+

1

2

，∴a_n=（n+

1

2

）×2ⁿ-1=n×2ⁿ+2^n-1-1，
令T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n×2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2¹+2²+2³+…+2•ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2+2ⁿ-1-n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+1-n．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等差關(guān)系的確定，考查錯位相減法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵，屬于中檔題．