Question

14．已知拋物線C：y²=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若$\sqrt{2}$$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，則k=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x-2），代入拋物線方程，利用（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=0，即可求出k的值．

解答 解：由拋物線C：y²=8x得焦點(diǎn)（2，0），
由題意可知：斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x-2），
代入拋物線方程，得到k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，△＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=-16
又$\sqrt{2}$$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
∴（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=$\frac{16}{{k}^{2}}$-$\frac{16}{k}$+4=0
∴k=2．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．