Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|-2|x-1|．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）-|2x-5|≤0對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)對(duì)x取值的分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可得|x-a|≤3，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤1}\\{a+3≥2}\end{array}\right.$，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x-3|-|2x-2|≥1
x$≤1\$時(shí)，3-x+2x-2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3時(shí)，3-x-2x+2≥1，∴x≤$\frac{4}{3}$，∴1＜x≤$\frac{4}{3}$；
x≥3時(shí)，x-3-2x+2≥1，∴x≤-2∴1＜x≤$\frac{4}{3}$，無(wú)解，…（4分）
所以f（x）≥1解集為[0，$\frac{4}{3}$]．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）-|2x-5|≤0可化為|x-a|≤3，
∴a-3≤x≤a+3，…（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤1}\\{a+3≥2}\end{array}\right.$，…（8分）
∴-1≤a≤4．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．