已知橢圓
x2
16
+
y2
4
=1的弦AB的中點M的坐標為（2，1），求直線AB的方程，并求AB的長．
考點：直線與圓錐曲線的關系
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：首先，根據(jù)橢圓的對稱軸，得到該直線的斜率存在，設其方程為y-1=k（x-2），然后聯(lián)立方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，并且借助于中點坐標公式，確定斜率k的值，然后，利用兩點間的距離公式或弦長公式，求解AB的長．
解答： 解：當直線AB的斜率不存在時，不成立，
故直線AB的斜率存在，
設其方程為y-1=k（x-2），
聯(lián)立方程組
x2
16
+
y2
4
=1
y=k(x-2)+1
，消去y并整理，得
（1+4k2）x2+8k（1-2k）x+4（1-2k）2-16=0，
∴x1+x2=-
8k(1-2k)
1+4k2
，
∵
x1+x2
2
=2，
∴2k（2k-1）=1+4k2，
∴k=-
1
2
，
∴直線AB的方程：x+2y-4=0．
將k=-
1
2
代人（1+4k2）x2+8k（1-2k）x+4（1-2k）2-16=0，
得x2-4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（0，
3
2
），B（4，-
1
2
），
∴|AB|=
42+(-
1
2
-
3
2
)2
=2
5
．
∴AB的長2
5
．
點評：本題屬于中檔題，重點考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系、弦長公式、兩點間的距離公式等知識，屬于高考的熱點和重點問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點P（1，
2
2
），離心率e=
2
2
．求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某工廠對某產(chǎn)品的產(chǎn)量與單位成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：
月     份123456
產(chǎn)量x千件234345
單位成本y元/件737271736968
（Ⅰ） 求單位成本y與月產(chǎn)量x之間的線性回歸方程．（其中已計算得：x1y1+x2y2+…+x6y6=1481，結(jié)果 保留兩位小數(shù)）
（Ⅱ） 當月產(chǎn)量為12千件時，單位成本是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知x∈（0，π），求y=sinx+
2
sinx
的最小值？
（2）若a，b為正實數(shù)，且ab-（a+b）=8，求a+b的最小值？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一直函數(shù)f（x）=loga
1-x
1+x
（a＞0，a≠1）．
（1）學生甲求出f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）；學生乙求出f（x）的定義域為（-1，1）；學生丙求出f（x）的定義域為（-∞，-1），（1，+∞）．你認為誰正確？
（2）請判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）請判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=
3
，AD=
3
，AA1=1．
（1）AD與A1C1所成的角是多少度？
（2）DD1與B1C所成的角是多少度？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知0＜x＜π，sinx+cosx=
1
5
．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求tanx的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），且雙曲線的一條漸近線截圓（x-3）2+y2=8所得弦長為4，則雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
e1
、
e2
為單位向量，非零向量
b
=x
e1
+y
e2
，x、y∈R．若
e1
、
e2
的夾角為
π
6
，則
|x|
|
b
|
的最大值等于
 
．

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